Philosophie der Mathematik. Eine Anmerkung

Was sind Zahlen und geometrische oder andere mathematische Objekte? Dies ist einer der Grundfragen der Philosophie der Mathematik. Bereits seit der Antike versucht die Philosophie auf diese Fragen eine Antwort zu geben. Zwei grundlegende Antworten auf diese Fragen werden heute hauptsächlich diskutiert. Eine dritte Position, die aristotelische Auffassung von mathematischen Gegenständen, ist eher selten, wenn nicht gar unbekannt.

Mathematische und geometrische Gegenstände scheinen geradezu göttliche Attribute zu haben. Sie sind ewig, unveränderlich, immateriell und können nur durch reine Vernunft erfasst werden. „Mathematische Wahrheiten zeigen Unendlichkeit, Notwendigkeit, Ewigkeit, Unveränderlichkeit, Vollkommenheit und Immaterialität, weil sie Gottes Gedanken sind, und sie haben eine solche Erklärungskraft in der wissenschaftlichen Theoriebildung, weil sie Teil des von Gott bei der Erschaffung der Welt umgesetzten Bauplans sind. Für einige Denker in dieser Tradition liefert die Mathematik somit den Ausgangspunkt für ein Argument für die Existenz Gottes als höchstem Intellekt.“ So beschreibt Edward Feser die platonische oder neuplatonische Auffassung der Mathematik. Die Platoniker gehen deshalb auch davon aus, dass diese mathematischen Objekte neben Gott selbst existieren und Gott sich ihrer bei der Erschaffung der Welt bedient. Diese Objekte bestehen gewissermaßen unabhängig von der realen Welt in einem eigenen Reich der Ideen. Es gibt verschiedene Varianten dieser platonischen Auffassung. So kann man Theorien finden, die die mathematischen Entitäten in den Geist Gottes verlegen oder Gott vollständig aus der Theorie streichen und einfach anerkennen, dass es abstrakte Entitäten gibt, ganz gleich „wo“ diese existieren.

Diese Auffassung der Philosophie der Mathematik ist auch heute in der analytischen Philosophie verbreitet, besonders bei der eher rationalistischen Richtung der analytischen Philosophie. Sie hat den Vorzug, dass sie mathematische Gegenstände als reale Entitäten kategorisiert und nicht als etwas, was nur im Verstand existiert.

Eine andere Theorie der Mathematik, die meines Erachtens eine breitere Zustimmung in der Wissenschaftstheorie genießt, hat den Nominalismus zur Grundlage. „In der zeitgenössischen Philosophie sind die Alternativen zum Platonismus, die die meiste Aufmerksamkeit erhalten, Variationen der mittelalterlichen Lehre des Nominalismus, die Zahlen und andere angeblich abstrakte Objekte als bloße Namen oder sprachliche Konstrukte und nicht als wirklich existierende Entitäten behandelt. Eine besonders einflussreiche Version dieser Idee ist der Fiktionalismus, der davon ausgeht, dass die Mathematik wie eine erfundene Geschichte ist, deren Elemente für die Wissenschaft nützlich sind, die aber nicht buchstäblich wahr ist. Ist es richtig zu sagen, dass Tony Stark Iron Man ist und Peter Parker nicht? Ja, denn so ist es in den Marvel-Filmen und Comics. Aber natürlich sind diese Geschichten fiktiv; in Wirklichkeit gibt es keinen Tony Stark, keinen Peter Parker und keinen Iron Man. Ebenso ist es richtig zu sagen, dass zwei und zwei vier statt fünf ergeben. Aber auch dies spiegelt lediglich die Art und Weise wider, wie die Dinge in einer fiktiven Geschichte - der Geschichte der Mathematik - sind.“ (Ibid.). Mathematische Objekte sind wie Romane oder andere Geschichten. Es sind bloße Fiktionen, die aber Sinn machen, weil man mit ihrer Hilfe zu guten und sinnvollen Ergebnissen kommt. Es gibt aber keine real existierenden mathematischen Gegenstände, sondern eben nur diese Fiktionen. Diese Philosophie der Mathematik wird deshalb auch als Antirealismus bezeichnet.

Offensichtlich haben diese nominalistischen Theorien erhebliche Probleme. Wie soll man erklären, dass mathematische Theorien und Modelle so genaue Vorhersagen machen können, wenn sie nicht wirklich existieren und nicht wahr sind? Auch die technolische Anwendbarkeit der Mathematik bei der Konstruktion von Maschinen und anderen Artefakten kann mit dieser Auffassung von Mathematik nur schwer verständlich gemacht werden. Der bekannte Philosophie Hilary Putnam hat darauf hin gewiesen, dass solche Dinge praktisch wie Wunder erscheinen müssen, wenn die nominalistische Theorie der Mathematik wahr wäre. Für den Fiktionalisten ist 2 + 2 = 4 nicht wahrer als 2 + 2 = 5. Der Unterschied besteht nur darin, dass die Wissenschaft die erste Fiktion nützlich findet, die zweite aber nicht. Aber warum ist sie nützlicher als die zweite? Warum ist die Mathematik nützlicher als irgendein Roman oder ein Comic? Der Antirealismus kann darauf nur schwer eine Antwort geben.

Eine mittlere Position zwischen Platonismus und Antirealismus wird vom Aristotelismus eingenommen, der heute leider nur wenig Beachtung findet. Der Aristoteliker stimmt dem Platoniker zu, indem er die Mathematik als eine Beschreibung der objektiven Realität und nicht als bloße sprachliche Konvention betrachtet, wie der Anirealist. Die Mathematik funktioniert, weil sie wahr ist und die Entitäten, auf die sie sich bezieht, real sind. Aber der Platoniker irrt sich, wenn er glaubt, dass diese Entitäten in einem exotischen „dritten Bereich" existieren. Vielmehr existieren sie nur in den ersten beiden Reichen - in der Natur selbst und in den Köpfen, die sie betrachten. Die von den Geometern untersuchte Dreieckigkeit existiert beispielsweise in konkreten besonderen Dreiecken und im Verstand, der dieses allgemeine Muster von diesen besonderen Vorkommnissen abstrahieren und seine Eigenschaften isoliert und an sich betrachtet. Etwas Ähnliches lässt sich auch über andere mathematische Einheiten, wie z.B. Zahlen, sagen. Dieser Ansatz hat eine hervorragende Tradition in der Geschichte der Philosophie und wurde in den letzten Jahren unter anderem von dem Philosophen und Mathematiker James Franklin entwickelt und verteidigt. Der Ansatz geht aber zurück auf Aristoteles und seine Schule, besonders auf die scholastische Philosophie des Mittelalters.

Zu all dem kann und muss sicher viel mehr gesagt werden, aber in einem kurzen Blogbeitrag möchte ich es zunächst dabei bewenden lassen. Vielleicht komme ich später darauf wieder zurück.